Exercícios Resolvidos

1) Urna contem 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3
bolas. Achar a probabilidade de:

a) Nenhuma ser vermelha
b) Todas sejam da mesma cor

solução

a)
B= {branca}
V = {vermelha}
A = {Azul}

Nenhuma ser vermelha: {AcAcAc}
P(Nenhuma ser vermelha) = P(Ac∩Ac∩Ac) = ( 8 / 12 ) x (7 / 11 ) x (6/10 ) = 0,2545

b) Todas da mesma cor: {AAA}{BBB}{VVV}

P(Todas da mesma cor) = P(A∩A∩A) +P(B∩B∩B) +P(V∩V∩V) = (4/12 ) x(3/11) x (2/10)+
(5/12) x (4/11) x ( 3/10) + (3/12) x (2/11) x (1/10) = 0,0682

2) Considere o quadro a seguir, representativo da distribuição da renda anual de
produtores rurais e duas cooperativas em uma determinada região:
Cooperativas

Renda Anual A B Total
15 a 20 55 25 80
20 a 25 35 35 70
25 a 30 10 80 90
30 a 35 5 5 10
Total 105 145 250

Observando os dados acima verifique a probabilidade de um cooperado aleatoriamente
escolhido ser:

a) da Cooperativa A
A = {Coop. A}

P(A) = 105/250 = 0,42
b ) ter renda entre 15 e 20
R1 = {renda entre 15 e 20}
P(R1) = (55+25) / 250 = 80/250 = 0,32

c ) ter renda entre 25 e 30 dado que é da cooperativa B
R2 = {renda entre 25 e 30}
B = {Coop. B}
P(R2 | B ) = P ( R2 ∩ B) = 80 / 250 = 80 / 145 = 0,55
P(B) 145 / 250

d) O tipo de cooperativa é independente da renda? Justifique.
Os eventos são independentes se P (A∩B) = P( A ) x P( B )
Como os elementos de cada célula da tabela representa os interseções entre os eventos,
devemos verificar e elas são iguais a multiplicação dos valores da ultima linha e ultima
coluna. Se apenas um for diferente, já temos motivo para dizer que são eventos independentes.

A = {Coop. A}
R1 = {renda entre 15 e 20}
P(A ∩ R1) = 55/250 = 0,22
P(A) x P(R1) = 0,42 x 0,32 = 0,1344
Como temos P(A ∩ R1) diferente de P(A) x P(R1), já é condição suficiente para dizer que
os eventos não são independentes.

3) Jogam-se dois dados, qual é a probabilidade de o produto dos números das faces
superiores estar entre 12 e 15 (inclusive?)
Solução: Devemos construir uma tabela de produtos, que é o nosso espaço amostral (E):
Dado2
Dado1 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
N(E) = 36

A = {12,15}
N(A) = 6 P(A) = 6/36 = 1/6

4) Admitindo que a probabilidade de uma família ter um filho do sexo masculino (H) é
0,51, calcule a probabilidade de uma família de 3 filhos ter:

a) Somente um filho do sexo masculino
b) Dois filhos do sexo feminino
c ) pelo menos 1 do sexo feminino

Solução:

a) P(H) = 0,51 P(M) =0,49
1 filho do sexo masculino: {HMM , MHM, MMH}
P(1 do sexo masculino) = P(H)P(M)P(M) + P(M)P(H)P(M)+P(M)P(M)P(H)
= (0,51x0,49x0,49) + (0,49x0,51x0,49) + (0,49x0,49x0,51)
= 0,12+0,12+0,12 = 0,36

b) P(2 do sexo masculino) = P(1 do sexo masculino) = 0,36

c) pelo menos 1 do sexo feminino: {M,H,H} {H,M,H} {H.H,M} {M,M,H} {M,H,M}
{H,M,M}{M,M,M}


P(pelo menos 1 do sexo feminino) = 0,49x0,51x0,51+0,51x0,49x0,51+0,51x0,51x0,49+
0,49x0,49x0,51+0,49x0,51x0,49+0,51x0,49x0,49+0,49x0,49x0,49 =
=0,127+0,127+0,127+0,122+0,122+0,122+0,118 = 0,865

5) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter a soma
dos pontos igual a 8 ou dois números iguais ?

O espaço amostral seria:

A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6).....(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(A) = 36

os eventos seriam:


E1 : soma 8 ; {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2),}
n(E1) = 5 --> p(E1) = 5/36
E2 : números iguais ; {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
n(E2) = 6 --> p(E2) = 6/36
E1∩ E2 : {(4,4)}
n(E1∩ E2) = 1 -> p(E1∩ E2 ) = 1/36

Então:


p(E1∪E2) = p(E1)+ p(E2) – p(E1∩ E2 ) =5/36 + 1/6 - 1/36 = 5/18

6) Uma urna contem x bolas brancas e 3x bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Uma bola é
extraída ao acaso. Determine o menor valor possível de x a fim de que a probabilidade
de a bola ser sorteada ser preta seja maior que 70%.
Pelos dados temos que:
3x / (4x + 3) > 0,7
resolvendo temos que
0,2x > 2,1 ou seja x > 10,5
Como x deve ser inteiro logo x = 11
7) Uma urna tem 3 bolas brancas, duas pretas e serão extraídas duas bolas.

A ) calcule a probabilidade de serem uma de cada cor.

Branca: {B} Preta: {P}
Uma de cada cor: {BP} {PB}
P(Uma de cada cor) = P(B) x P(P) + P(P) x P(B) = (3/5) x (2/4) + (2/5) x (3/4) = 0,3+0,3= 0,6

B) Calcule a probabilidade de se retirar uma bola branca na segunda retirada, sabendo-se que
a primeira bola retirada foi uma Preta, em duas situações: Com reposição e sem reposição.
Com Reposição

P(B | P) = P( P ∩ B) = (2/5) x (3/5 ) = 3 / 5 = P(B) -> Eventos independentes
P(P) 2/5
Sem Reposição
P(B | P) = P( P ∩ B) = (2/5) x (3/4 ) = 3/4
P(P) 2/5

8) Se no problema anterior as bolas fossem retiradas uma a uma com reposição, qual
seria a nova probabilidade?

Neste caso seriam eventos independentes, logo teríamos que somar as suas probabilidades
Então, teríamos


Se primeiro branca e depois preta : p(E1) = 3/5 . 2/5 = 6/5
Se primeiro preta e depois branca : p(E2) = 2/5 . 3/5 = 6/5
A probabilidade total seria então 12/25

9) Uma clinica especializada trata de 3 tipos de moléstias em animais: A, B e C. 60% dos
que procuram a clínica são portadores da moléstia A, 30% são portadores de B e 10%
de C. As probabilidades de cura de cada moléstia nesta clinica são, respectivamente, 0,8 ;
0,9 ; 0,75. Qual a probabilidade de:

a) Chegar uma paciente da moléstia B e ser curado?
b) Um paciente qualquer ser curado?

Então, temos

a) p(B e curado) = 0,3 x 0,9 = 0,27
b) p(curado) = 0,6 x 0,8 + 0,3 x 0,9 + 0,1 x 0,75 = 0,825

10) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de observarmos, no máximo, 1
cara?
Então, temos :

n = 3 ( número de vezes)
p = 1/2 (probabilidade de dar cara)
q = 1/2 (probabilidade de não dar cara)
K = {Cara}
C = {Coroa}

Máximo 1 cara: {C,C,C} {K,C,C} {C,K,C} {C,C,K}
P(máximo 1 cara) = P(C) P(C) P(C)+ P(K) P(C) P(C)+ P(C) P(K) P(C)+ P(C) P(C) P(K)
= (1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2) = 1/2
Will ~ Tedio

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